Inhoud piramide en kegel (H8.2) - deel 1 - G&R 12de - VWO 2

    ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.2 Inhoud piramide en kegel - deel 1

(Opgave 15, 16, 19, 20, 21)

Opgave 15.

[Uitleg]

[Eerste figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Vierkant ABCD is het grondvlak.

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte grondvlak (Vierkant ABCD) is   4 × 4 =16cm² .

Stap④: Bereken  de inhoud van de piramide.

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
 → De hoogte van de piramide is 4 cm.

→ Inhoud piramide = ⅓ × 16 cm² × 4 cm = 21⅓ cm³

[Tweede figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Vierkant KLMN is het grondvlak.

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte grondvlak (Vierkant KLMN):

Oppervlakte vierkant ADHE – Oppervlakte vier driehoeken (◺ALK + ◺LDM + ◺MHN + ◺KNE)

= (4 × 4) – 4(½ × 2 × 2) = 16 – 8 = 8 cm²

of

KL = LM = MN = KN = √(2² + 2²) = 2√3

Oppervlakte □ KLMN = (2√3)² = 8 cm²

Stap④: Bereken  de inhoud van de piramide.

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
 → De hoogte van de piramide is 4 cm.

→ Inhoud piramide = ⅓ × 8 cm² × 4 cm = 10⅔ cm³

[Derde figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Driehoek CDR is het grondvlak.

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte grondvlak (Driehoek CDR) is   ½ × 4 × 4 = 8 cm² .

Stap④: Bereken  de inhoud van de piramide.

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
 → De hoogte van de piramide is 4 cm.

→ Inhoud piramide = ⅓ × 8 cm² × 4 cm = 10⅔ cm³

Opgave 16.

[Eerste figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Driehoek PCD is het grondvlak.

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte grondvlak (Driehoek PCD) is   ½ × (1½ + 1½) × 4 =  ½ × 3 × 4= 6 cm² .

Stap④: Bereken  de inhoud van de piramide.

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
 → De hoogte van de piramide is 5 cm.

→ Inhoud piramide = ⅓ × 6 cm² × 5 cm = 10 cm³

[Tweede figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Trapezium RDHE is het grondvlak.

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte grondvlak (Trapezium RDHE) is   ½(5 + 2) × 4  = 14 cm² .

Stap④: Bereken  de inhoud van de piramide.

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
→ De hoogte van de piramide is 4 cm.

→ Inhoud piramide = ⅓ × 14 cm² × 3 cm = 14 cm³

Opgave 19.

[figuur De kerk]

→ De inhoud van de kerk: 

• Inhoud prisma 1 = (12 × 12) × 29 = 4176
• Inhoud prisma 2 = (12 × 18) × 20 = 4320
• Inhoud prisma 3 = (½ × 12 × 5) × 18 = 540
• Inhoud piramide 1 = ⅓ × (12 × 12) × 6 = 432

Inhoud prisma 1 + Inhoud prisma 2 + Inhoud prisma 3 + Inhoud piramide 1

= 4176 + 4320 + 540 + 288 = 9324 

→ De inhoud van de kerk is 9324 m³. 

Opgave 20.

a.

→ De stelling van Pythagoras is als volgens:

 In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekzijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde. 

→ In het bovenstaande figuur is x een rechthoekzijde van een rechthoekige driehoek.
→ Volgens de stelling van Pythagoras, x² + x² = 4².

→ Als je deze vergelijking oplost:

 x² + x² = 4²

2x² = 16

x² = 8

x = ±√8  

→ x is een lengte.  x = √8

b.

→ Het oppervlakte van de achthoek is:

4 × (½ × √8 × √8) + 4 × (4 × √8) + 1× (4 × 4) = 16 +  4 × √(4²×8) + 16 

= 32 + 4 × √128 = 32 + √(4² × 128) = 32 + √2048 = 77,254834

→ De oppervlakte van de achthoek is 77,25 mm² (afgerond op twee decimalen).

c.

→ De inhoud van de diamant = de inhoud van de bovenste piramide + de inhoud van de onderste piramide.

① Inhoud van de bovenste piramide 

= ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte 

= ⅓ × (32 + √2048) × 6 = 64 + √8192

② Inhoud van de onderste piramide

= ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte

= ⅓ × (32 + √20488) × 8 = ²⁵⁶∕₃ + √((⁸∕₃)² × 2048) = ²⁵⁶∕₃ + √¹³¹⁰⁷²∕₉

 → De inhoud van de diamant = (64 + √8192) + (²⁵⁶∕₃ + √¹³¹⁰⁷²∕₉) ≈ 360,52

→ De inhoud van de diamant is 360,5 mm³ (rond af op één decimaal).

d.

→ Uit de opgave: "Eén karaat komt overeen met 200 milligram. Diamant weegt 3,51 mg per mm³."

→ De inhoud van de diamant is (64 + √8192) + (²⁵⁶∕₃ + √¹³¹⁰⁷²∕₉) mm³.

→ De inhoud van de diamant × 3,51 mg/mm³ = het gewicht van de diamant.

→ Het gewicht van de diamant ÷ 200mg = het karaat van de diamant.

(De inhoud van de diamant × 3,51 mg/mm³) ÷ 200mg

= {(64 + √8192) + (²⁵⁶∕₃ + √¹³¹⁰⁷²∕₉)} × 3,51 ÷ 200

≈ 6,33

→ De diamant is 6 karaat (rond af op gehelen). 

Opgave 21.

a.

→ 1 ha = 10.000 m²

→ 3,24 ha = 32.400 m²

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte

                                 = ⅓ × 32.400 m² × 98 m

                                    = 1.058.400 m³

b.

Stap①: Bereken de zijde van het grondvlak (vierkant).

→ De piramide is een vierkante piramide. Een vierkante piramide is een piramide met een vierkant grondvlak, waarbij het zijvlak een gelijkbenige driehoek is.

→ De oppervlakte van het grondvlak is 32.400 m². 

    Oppervlakte vierkant = zijde² 

    zijde² = 32.400 m²

    zijde = 180 m

Stap②: Bereken de hoogte van de gelijkbenige driehoek van het zijvlak.

→ Gebruik de stelling van Pythagoras.

→ Volgens de stelling van de Pythagoras:

     x² = 98² × 90² = 17704

     x = √17704 m

     (x is de hoogte van de driehoek.)

→ De oppervlakte van de gelijkbenige driehoek = ½ × 180 ×√17704

→ Som van de oppervlakten van de zijvlakken = 4 × (½ × 180 ×√17704)

→ De roestvrijstalen platen dekken 95% van de buitenkant van de Pyramid Arena.

     Om de totale oppervlakte van de platen te berekenen:

     0,95 × {4 × (½ × 180 × √17704)} = 45.505 (Rond af op gehelen).

→ De totale oppervlakte van de roestvrijstalen platen is 45.505  m².